Прикладная математика

1. часть: вычислительные методы

повторительные вопросы теории

1. Классификация погрешностей по причинам возникновения. Характеризовать виды погрешностей.

2. Определения абсолютной и относительной погрешности.

3. Как ведет себя абсолютная погрешность при сложении и вычетании и относительная погрешность при умножении и делении?

4. Описать метод итерации в решении уравнений. Какой метод называется одношаговым и какой многошаговым? Что понимается под сходимостью метода?

5. Какая форма уравнения подходит для метода простой итерации? Написать алгоритм метода простой итерации.

6. Каково достаточное условие сходимости метода простой итерации? Написать оценку погрешности x_n через погрешности x_n-1 .

7. Описать геометрический смысл метода Ньютона.

8. Представить алгоритм метода Ньютона.

9. Какова оценка погрешности x_n через погрешности x_n-1 в методе Ньютона? Сходится ли метод Ньютона быстрее или медленнее чем метод простой итерации? Обосновать.

10. Вывести алгоритм метода секущих из метода Ньютона с помощью приближения производной с разностным отношением.

11. Описать геометрический смысл метода секущих.

12. Определить векторную функцию и писать нелинейную систему уравнений в векторной форме

13. Какая форма системы подходит для метода простой итерации? Написать алгоритмы метода простой итерации и метода Зейделя.

14. Определить матрицу Якоби векторной функции.

15. Представить алгоритмы метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона для решения систем уравнений.

16. Что называются узлами интерполяции, точками интерполяции, условиями интерполяции? Формулировать задачу интерполяциии.

17. Формулировать теорему о существовании интерполяционного полинома.

18. Какие недостатки имеет полиноминальная интерполяция? Описать кусочно- линейную и кусочно- квадратичную интерполяцию.

19. Определить сплайн степени k и порядком гладкости p.

20. Описать метод найменьших квадратов (регрессию) для приближения функций, заданных в форме таблицы.

21. Описать линейную и нелинейную регрессию.

22. Описать экспоненциальную регрессию. Как можно сводить задачу экспоненциальной регрессии к задаче линейной регрессии?

23. Представить разностные отношения с шагом вперед и шагом назад и симметрическое разностное отношение для прозводной первого порядка. Каковы абсолютые погрешности и порядки точности этих отношений?

24. Представить разностное отношение для прозводной второго порядка. Каковы абсолютая погрешность и порядок точности этого отношения?

25. Что называется квадратурной формулой?

26. Представить правую и левую формулу прямоугольников. Описать геометрический смысл этих формул. Каковы абсолютая погрешность и порядок точности этих формул?

27. Какая интерполяция используется в формуле Ньютона-Котеса?

28. Какая интерполяция используется в формуле трапеции? Представить формулу трапеции. Каковы абсолютая погрешность и порядок точности этой формулы?

29. Какая интерполяция используется в формуле Симпсона? Представить формулу Симпсона. Каковы абсолютая погрешность и порядок точности этой формулы?

30. Определить следующие понятия: дифференциальное уравнение, порядок дифференциального уравнения, обыкновенное дифференциальное уравнение и дифференциальное уравнение в частных производных.

31. Что называется общим решением и частным решением обыкновенного дифференциального уравнения?

32. Каковы общая форма и нормальная форма обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка?

33. Формулировать задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Сколько решений имеет эта задача?

34. Представить алгоритм метода Эйлера. Каков порядок точности этого метода?

35. Вывести алгоритм метода формулы трапеции. Каков порядок точности этого метода?

36. Представить схему прогноза и коррекции для метода формулы трапеции и метод Рунге-Кутта второго порядка.

37. Какая интерполяция используется в методe Адамса-Башфорта?